Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：；
（2）若，求CF的长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）5

（1）证明：过D作DG⊥BC于G．
由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．      ………………………3分
又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC．
∴DE=DC，且AE=GC．     ……………………4分
在△EDF和△CDF中，
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，
∴△EDF≌△CDF．
∴EF=CF． ……………………………………………6分
（2）∵AD=3AE， ∴． ………………………………………7分
设，则，BE=6－2="4."
由勾股定理，得　．
解之，得　， 即．
∴CF = EF=5……………………………10分
（1）过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF，
（2）由（1）得，设，利用勾股定理求解