Question

（2009•眉山）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x²+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=x²+bx+c即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨；
（3）易得|AM-MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．
解答：解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x²+bx+c
得，
解得，
∴抛物线的解折式为y=x²-x+1；（2分）

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m²-m+1，
即E点的坐标（m，m²-m+1），
又∵点E在直线y=x+1上，
∴m²-m+1=m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐标为（4，3）．（4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP₁⊥DE交x轴于P₁点，设P₁（a，0）易知D点坐标为（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得
即，
∴a=，
∴P₁（，0）．（5分）
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP₂⊥DE交x轴于P₂点，
由Rt△AOD∽Rt△P₂ED得，
即=，
∴EP₂=，
∴DP₂==
∴a=-2=，
P₂点坐标为（，0）．（6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P₃（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由得，
解得b₁=3，b₂=1，
∴此时的点P₃的坐标为（1，0）或（3，0），（8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；

（3）抛物线的对称轴为，（9分）
∵B、C关于x=对称，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．（10分）
易知直线AB的解折式为y=-x+1
∴由，
得，
∴M（，-）．（11分）
点评：一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；
求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．