题目内容
如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3
，MN=2
．（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（
是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
【答案】分析：（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数；
（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE-OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；
（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合，在EF的同一侧，这样的三角形共有3个．延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比．
解答：解：（1）∵AE切⊙O于点E，
∴AE⊥CE，又OB⊥AT，
∴∠AEC=∠CBO=90°，
又∠BCO=∠ACE，
∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，
∴∠COB=∠A=30°；
（2）∵AE=3
，∠A=30°，
∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=
，即EC=AEtan30°=3，
∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2
，
∴MB=
MN=
，
连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=
，
∴OB=
=
，
在△COB中，∠BOC=30°，
∵cos∠BOC=cos30°=
=
，
∴BO=
OC，
∴OC=
OB=
，
又OC+EC=OM=R，
∴R=
+3，
整理得：R2+18R-115=0，即（R+23）（R-5）=0，
解得：R=-23（舍去）或R=5，
则R=5；
（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，
画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：
∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，
∴FD=5
，
则C△EFD=5+10+5
=15+5
，
由（2）可得C△COB=3+
，
∴C△EFD：C△COB=（15+5
）：（3+
）=5：1．
∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°，
∴EG=5
，
则C△EFG=5+10+5
=15+5
，
∴C△EFG：C△COB=（15+5
）：（3+
）=5：1．
点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE-OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；
（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合，在EF的同一侧，这样的三角形共有3个．延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比．
解答：解：（1）∵AE切⊙O于点E，
∴AE⊥CE，又OB⊥AT，
∴∠AEC=∠CBO=90°，
又∠BCO=∠ACE，
∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，
∴∠COB=∠A=30°；
（2）∵AE=3
，∠A=30°，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=
，即EC=AEtan30°=3，∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2
，∴MB=
MN=，连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=
，∴OB=
=，在△COB中，∠BOC=30°，
∵cos∠BOC=cos30°=
=，∴BO=
OC，∴OC=
OB=，又OC+EC=OM=R，
∴R=
+3，整理得：R2+18R-115=0，即（R+23）（R-5）=0，
解得：R=-23（舍去）或R=5，
则R=5；
（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，
画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：
∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，
∴FD=5
，则C△EFD=5+10+5
=15+5，由（2）可得C△COB=3+
，∴C△EFD：C△COB=（15+5
）：（3+）=5：1．∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°，
∴EG=5
，则C△EFG=5+10+5
=15+5，∴C△EFG：C△COB=（15+5
）：（3+）=5：1．点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
练习册系列答案
寒假乐园北京教育出版社系列答案
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是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．