Question

如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知
∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

Answer 1

解：（1）∵AE切⊙O于点E， ∴AE⊥CE，又OB⊥AT， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE， ∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°； （2）∵AE=3，∠A=30°， ∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3， ∵OB⊥MN， ∴B为MN的中点，又MN=2， ∴MB=MN=， 连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=， ∴OB==， 在△COB中，∠BOC=30°， ∵cos∠BOC=cos30°==， ∴BO=OC， ∴OC=OB=， 又OC+EC=OM=R， ∴R=+3， 整理得：R2+18R﹣115=0， 即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5； （3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后， 这样的三角形有6个， 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如右图所示： 延长EO交圆O于点D，连接DF， 如图所示， ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5， 则C△EFD=5+10+5=15+5， 由（2）可得C△COB=3+， ∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．