Question

已知抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上方的A点为抛物线的动点，且∠BAC为锐角，求AD的取值范围．

Answer 1

解：如图所示：
当y=0时，x²-2x-8=0，
解得，x₁=-2，x₂=4；
则B、C两点坐标为（-2，0），（4，0）．
当∠BAC为直角时，
AD为Rt△ABC斜边上的中线，
故AD=BC=×（4+2）=3，
抛物线的顶点纵坐标为=9，
由图可知，当BAC为锐角时，3＜AD≤9．

分析：令y=0，求出抛物线与x轴的两交点坐标，从而求出D点坐标，再根据直角三角形的性质求出当∠BAC为直角时AD的长和抛物线的顶点坐标即可得出AD的取值范围．
点评：此题是动点问题，考查了抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标的求法，结合图形，求出AD的最小值和最大值是解题的关键．