如图.在平面直角坐标系中.四边形ABCD是梯形.其中A(6.0).B(3.3).C(1.3).动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动.动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动.当点P到达A点时.点Q也随之停止.设点P.Q运动的时间为t(秒)．(1)求经过A.B.C三点的抛物线的解析式,(2)当点Q在CO边上运动时.求△OPQ的面积S与时间t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，

），C（1，

），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．

分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出△OPQ的高，进而利用三角形面积公式求出即可；
（3）根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为直角三角形；
（4）首先求出抛物线对称轴以及OB直线解析式和PM的解析式，得出

（1-t）×

=3-t-2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，再利用2＜t≤3时，求出t的值，根据t的取值范围得出答案．

解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A（6，0），B（3，

），C（1，

）三点坐标代入得：

36a+6b+c=0

9a+3b+c=

a+b+c=

，
解得：

a=-

，

即所求抛物线解析式为：y=-

x²+

；

（2）如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，
∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4-t，
∴△OPQ的高为：OQ×sin60°=（4-t）×

，
又∵OP=2t，
∴S=

×2t×（4-t）×

（t²-4t）（2≤t≤3）；

（3）根据题意得出：0≤t≤3，
当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ=

3+(3-t)2

，

PQ=

3+[2t-(3-t)]2

3+(3t-3)2

，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则OP²+PQ²=QO²，即4t²+3+（3t-3）²=3+（3-t）²，
解得：t₁=1，t₂=0（舍去），
若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OQP=90°，如图，3，则OQ²+PQ²=PO²，即（3-t）²+6+（3t-3）²=4t²，
解得：t=2，
当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时OP=2t＞4，
∠POQ=∠COP=60°，
OQ＜OC=2，
故△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形；

（4）由（1）可知，抛物线y=-

x²+