题目内容

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD分别与BC、⊙O交于E、D．
（1）求证： $数学公式$ ；
（2）若BA=BC=1，且E是AD的中点，求AC的长．

证明：（1）连接DB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，

∴∠DBE=∠DAC=∠DAB，且∠D=∠D，
∴△DBE∽△DAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵△DBE∽△CAE， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）解：∵△DBE∽△DAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BD²=DE•DA=2DE²，
∴BD= $\text{[math]}$ DE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，且BA=1，
∴BE= $\text{[math]}$ ，CE=1- $\text{[math]}$ ．
由（1）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AC= $\text{[math]}$ -1．
分析：（1）连接DB，根据AD平分∠BAC可得出∠DAC=∠DAB，进而可得出△DBE∽△DAB，△DBE∽△CAE，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答；
（2）根据△DBE∽△DAB可得出BD²=DE•DA=2DE²求出CE、BE的值，再由（1）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质进行解答．