Question

已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．求证：
（1）BF=AC；
（2）CE=

1

2

BF．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；
（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根据ASA证出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．

解答：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵

∠BDF=∠CDA ∠A=∠DFB BD=DC

，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；

（2）证明：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△AEB和△CEB中
∵

∠AEB=∠CEB BE=BE ∠ABE=∠CBE

，
∴△AEB≌△CEB（ASA），
∴AE=CE，
即CE=

1

2

AC，
∵由（1）知AC=BF，
∴CE=

1

2

BF．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强．