Question

4、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上，若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（　　）

A、25

B、50

C、30-π

D、50-2π

Answer 1

分析：因为点C、D、E在AB上，点F、N在半圆上，若正方形CDMN大于正方形DEFG，则必有C、D两点分布于圆心O两侧，点D、E在圆心O同侧，且ON、OF是半径，即ON=OF=5，设正方形CDMN和DEFG的边长分别为a和b，假定a＞b，设线段OD的长度为c，在直角三角形中，根据勾股定理求出a、b和c之间的关系，最后恰能求出a²+b²的值．

解答：解：设正方形CDMN和DEFG的边长分别为a和b，假定a＞b，设线段OD的长度为c，
在直角三角形OCN中，OC²+CN²=ON²，
在直角三角形OEF中，OE²+EF²=OF²，
OC=CD+OD=a+c，CN=a，ON=5；
OE=OD+DE=b-c，EF=b，OF=5．
代入上式有（a+c）²+a²=25①；（b-c）²+b²=25②
①-②化简得（a+b）（b+c-a）=0，因为a+b＞0，
所以b+c-a=0，即a=b+c（可由此证得直角三角形OCN和直角三角形OEF全等）
①+②化简得a²+b²+c²+bc-ac=25，
a²+b²+c（c+b-a）=25，
因为上面已证得c+b-a=0，
所以a²+b²=25，即面积之和为25．
故选A．

点评：本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是充分利用直角三角形中勾股定理，本题求出a、b和c之间的关系很关键，本题难度较大．