Question

将一块边长为4的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC所在的直线上的点E，使DE=3，折痕为PQ，则PQ的长为

 

．

Answer 1

分析：根据当E点落在CD上时，交BC于Q'，作Q'R⊥AD于R或者当E'点落在CD延长线上时，设QP交AE'于F．分别利用相似三角形的性质求出即可．

解答：解：（1）当E点落在CD上时，交BC于Q'，作Q'R⊥AD于R，则RQ'=AB=AD
∵AD=4，DE=3，∠ADE=90°，
∴AE=5（勾股数），
∵∠DAE=∠RQ'P（同为∠APQ'的余角），RQ'=AD，Rt△Q'RP≌Rt△ADE，
∴PQ'=AE=5；

（2）当E'点落在CD延长线上时，设QP交AE'于F．
∵AD=4，DE'=3，∠ADE'=90°，
∴AE'=5（勾股数），FE=

AE′

2

=

5

2

，∠E'=∠E'，
∴RT△ADE'∽RT△QFE'，
∴

E′F

E′Q

=

E′D

AE′

，

2.5

3+QD

=

3

5

，
∴DQ=

7

6

，易知Rt△PQD∽Rt△E'AD
∴

DQ

PQ

=

AD

AE′

，
∴

7 6

PQ

=

4

5

，
∴PQ=

35

24

．
故答案为：5或

35

24

．

点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②正方形的性质，勾股定理求解．