题目内容

在平面直角坐标系中，将一块腰长为 $数学公式$ cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
（1）点A的坐标为，点B的坐为；
（2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
（3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

解：（1）∵AC=BC=2 $\text{[math]}$ ，直角顶点C的坐标为（-3，0），
∴点A的坐标为（-3， $\text{[math]}$ ），
点B的坐标为 $\text{[math]}$ ；
（2）∵抛物线的顶点为原点，
∴设抛物线y=ax²，
∵抛物线经过点A，
∴9a=2 $\text{[math]}$ ，
解得：a= $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²
（3）①当三角板向右平移1cm时，AC与⊙O第一次相切，t₁=1s
②当三角板向右平移3cm时，边AB与⊙O第一次相切，
设切点为M，在Rt△OMB’中OM=2，∠OB′P=45°，
∴OB′= $\text{[math]}$
∴BB′=OB-OB′= $\text{[math]}$
∴t₂=3s
③当三角板向右平移5cm时，边AC与⊙O第二次相切，t₃=5s
④当三角板向右平移，边AB所在直线与⊙O第二次相切，设切点为P，在Rt△OPB″中
OP=2，∠OB″P=45°，
∴OB″= $\text{[math]}$
∴BB″= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ s
所以 t₁=1s 或 t₂=3s 或 t₃=5s 或 $\text{[math]}$ s

分析：（1）根据等腰直角三角形的腰长求得AC和BC的长，然后根据点C的坐标求得两点的坐标即可；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²，将点A的坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（3）随着三角形的运动分四种情况：①当三角板向右平移1cm时，AC与圆相切，②当三角板向右平移3cm时，AB与半圆相切，③当三角板向右平移5cm时，边AC与⊙O第二次相切，④当三角板向右平移，边AB所在直线与⊙O第二次相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．
点评：本题考查了圆的综合知识，要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合常见的函数进行综合分析，考查了学生数形结合的分析能力．