题目内容

已知抛物线M：y = -x2+2mx+n（m，n为常数，且m> 0，n>0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线N与抛物线M关于y轴对称，其顶点为B，连结AC，BC，AB．

问抛物线M上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

说明：⑴如果你反复探索,没有解决问题, 请写出探索过程(要求至少写3步)；

⑵在你完成⑴之后,可以从①、②中选取一个条件，完成解答（选取①得7分；选取②得10分）．

①；②．

附加题: 若将26题中“抛物线M：y= -x2+2mx+n（m，n为常数，且m> 0，n>0） ”改为“抛物线M：y= ax2+2mx+n（m，n为常数，且m≠ 0,a≠0, n>0） ”，其他条件不变, 探究 26题中问题．

解：假设抛物线M上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，连结CP，作AD⊥x轴于D，交CP于E，

则AD为抛物线M的对称轴，且PC = AB = BC

由抛物线的对称性可得AC=BC， ∴AC = BC = AC．

从而△ABC为等边三角形

∴∠ACG =∠BCG =30°

∵四边形ABCP为菱形，且点P在抛物线M上，

∴点P与点C关于AD对称

∴∠ACE=90°－ 30° = 60°

∵由抛物线M配方得，

 

点A、C的坐标分别为A(m, m2 +n)、C(0, n)，

∴AE= m2+n－n= m2, CE = m．

在Rt△ACE中，

∴  ∵m> 0 

∴∴抛物线M上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时

练习册系列答案
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