Question

刘老师在一节数学课上布置了一道数学题：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=

 

．有同学用通分算出了结果，但太麻烦．我们做一个有趣的活动，如图所示；把面积为1的正方形等分成两个面积为

1

2

的矩形，并把其中一个矩形等分成两个面积为

1

4

的矩形，如此下去…，请你根据你发现的规律，计算：
①

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=

 

．

②

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

1024

=

 

．

③

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=

 

．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类,规律型：图形的变化类

专题：数形结合

分析：根据图形中的数据可知：

1

2

=1-

1

2

，

1

2

+

1

4

=1-

1

4

，

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

，…所以规律为

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=1-

1

2n

；由此规律直接计算即可．

解答：解：①

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=1-

1

256

=

255

256

．

②

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

1024

=1-

1

1024

=

1023

1024

．

③

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．
故答案为：

255

256

；

1023

1024

；1-

1

2n

．

点评：此题考查数与形结合的变化规律；注意每次分割都是分两份，求若干个矩形的面积和也可以换个方法思考，用减法简单地计算出来．