Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D是弧BC的中点，连接AD，交BC于点F．

⑴过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E，判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；

⑵若CD = 6，AC ：AF = 4 ：5，求⊙O的半径．

Answer 1

 (1)DE是⊙O的切线．

证明：连接OD，交BC于点G，

则OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．

∵点D是弧BC的中点，∴弧DC=弧BD，∴∠CAD=∠OAD．

∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC．

 ∴∠ODE+∠AED=180°．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°．

又∵DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=90°．

∴∠ODE=90°，∴ODDE． ∴DE是⊙O的切线．

（2）∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB =90°．

由（1）知，∠CAD=∠BAD．

∴△ACF∽△ADB．

∴，

∴，∴．

又∵，BD=CD=6，∴AB=10．

∵AB是⊙O直径，∴⊙O的半径为5．