题目内容
【题目】如图，已知抛物线
经过
，
，对称轴为直线
．
（1）求该抛物线和直线
的解析式；
（2）点
是直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为
，试用含的代数式表示
的面积，并求出面积的最大值；
（3）设P点是直线
上一动点，
为抛物线上的点，是否存在点，使以点
、
、P、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点坐标，不存在说明理由．
【答案】（1）
；（2）
，当
时，
有最大值为4；（3）存在，
坐标
或
或
．
【解析】
（1）根据抛物线的对称性求得点B坐标，然后利用待定系数法分别求函数解析式即可；
（2）设
点坐标
，过作
轴，交直线
于
点，则坐标为
，然后根据三角形面积公式求得
，从而用二次函数的性质求得其最值；
（3）利用平行四边形的性质，分四边形CPMB是平行四边形时，BN=PK=1；四边形CMPB是平行四边形时，CN=BO-1=3；四边形CPBM是平行四边形时，BN=OP=1三种情况确定M点横坐标，从而代入二次函数解析式求M点坐标．
解：（1）∵
，对称轴为直线
．
∴
设二次函数解析式为
将C（0，2）代入解析式，得
，解得
∴
∴抛物线解析式为：
，
设直线BC的解析式为
将B（4，0）、C（0，2）代入解析式，得
，解得
∴直线解析式为
（2）过作轴，交直线于点，
设点坐标
，则坐标为
∴
∴
∵a=-1＜0
∴当时，
有最大值为4．
（3）存在
设M点坐标为
如图，过点M作MN⊥x轴，过点P作PK⊥y轴，
①当四边形CPMB是平行四边形时，BN=PK=1
∴a=5
∴
∴此时M点坐标为（5，-3）
②当四边形CMPB是平行四边形时，CN=BO-1=3
∴a=-3
∴
∴此时M点坐标为（-3，-7）
③当四边形CPBM是平行四边形时，BN=OP=1
∴a=3
∴
∴此时M点坐标为（3，2）
综上所述，坐标为
或
或
．
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