Question

【题目】如图，育英学校前方有一斜坡AB长60米，坡度i＝1：，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．

（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平合DE最长是多少米？

（2）学校教学楼GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得教学楼顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问：教学楼GH高为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.732）

Answer 1

【答案】（1）平合DE最长是11.0米；（2）教学楼GH高为45.6米．

【解析】

（1）由斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，可得出当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，由斜坡AB的坡度可得出∠BAC=∠BDF=30°，由点D是AB的中点可得出AD，BD的长，通过解直角三角形可求出EF，DF的长，结合DE=DF-EF可求出平合DE最大值；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为点P，在Rt△DPA中，通过解直角三角形可求出PA的长，利用矩形的性质可求出DM的长，在Rt△DMH中，通过解直角三角形可求出HM的长，再结合GH=HM+MG可求出教学楼GH的值．

（1）∵斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，

∴∠BEF最大为45°，

当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长．

∵tan∠BAC＝i＝，

∴∠BAC＝∠BDF＝30°．

∵点D是AB的中点，

∴AD＝BD＝AB＝30米，

∴BF＝EF＝BD＝15米，DF＝15 米，

∴DE＝DF﹣EF＝15（﹣1）≈11.0米．

答：平合DE最长是11.0米．

（2）如图，过点D作DP⊥AC，垂足为点P．

在Rt△DPA中，DP＝AD＝15米，PA＝ADcos30°＝15 米．

在矩形DPGM中，MG＝DP＝15米，DM＝PG＝PA+AD＝（15 +27）米，

在Rt△DMH中，HM＝DMtan30°＝（15+27）×＝（15+9 ）米，

∴GH＝HM+MG＝15+15+9≈45.6米．

答：教学楼GH高为45.6米．