Question

将一副三角板如示意图摆放在一起，请在图1或图2中任选一个图形进行解答．
（1）连接DA，计算∠BDA的余切值；
（2）求作一个二次项系数为1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA为此方程的两个根．

Answer 1

解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BD于E，
设AB=a，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，那么可知
BC=cot30°×AB=a，
在Rt△BCD中，BD=sin45°×BC=a，
又∵AE⊥BD，∠CBD=45°，
∴BE=AE=sin45°×a=a，
∴在Rt△ADE中，cot∠EDA====-1；
即cot∠BDA=-1．

（2）设所求作的二次项系数为1的一元二次方程为x²+px+q=0，
∵cot∠BDA=-1，
∴tan∠BDA=，
∴p=-（cot∠BDA+2tan∠BDA）=-（-1+2×）=-2，
q=cot∠BDA×2tan∠BDA=（-1）×2×=2，
∴所求作的一元二次方程为x²-2x+2=0．
分析：（1）如图2先过点A作AE⊥BD于E，设AB=a，在Rt△ABC中，利用cot30°=，可求BC，在Rt△BCD中，利用sin45°=，又可求BD，易证△ABE是等腰直角三角形，从而利用sin45°=，可求AE、BE，于是在Rt△ADE中，可求cot∠EDA==，即cot∠BDA的值．
（2）由（1）可求出tan∠BAD，设所求作的二次项系数为1的一元二次方程为x²+px+q=0，根据根和系数的关系求出p和q，从得出一个二次项系数为1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA为此方程的两个根．
点评：本题考查了直角三角形的性质、特殊三角函数值．解本题最关键的是作辅助线AE，构造直角三角形．