Question

将一副三角板如示意图摆放在一起，请在图1或图2中任选一个图形进行解答．
（1）连接DA，计算∠BDA的余切值；
（2）求作一个二次项系数为1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA为此方程的两个根．

Answer 1

分析：（1）如图2先过点A作AE⊥BD于E，设AB=a，在Rt△ABC中，利用cot30°=

3

，可求BC，在Rt△BCD中，利用sin45°=

2

2

，又可求BD，易证△ABE是等腰直角三角形，从而利用sin45°=

2

2

，可求AE、BE，于是在Rt△ADE中，可求cot∠EDA=

DE

AE

=

BD-BE

AE

，即cot∠BDA的值．
（2）由（1）可求出tan∠BAD，设所求作的二次项系数为1的一元二次方程为x²+px+q=0，根据根和系数的关系求出p和q，从得出一个二次项系数为1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA为此方程的两个根．

解答：解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BD于E，
设AB=a，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，那么可知
BC=cot30°×AB=

3

a，
在Rt△BCD中，BD=sin45°×BC=

6

2

a，
又∵AE⊥BD，∠CBD=45°，
∴BE=AE=sin45°×a=

2

2

a，
∴在Rt△ADE中，cot∠EDA=

DE

AE

=

BD-BE

AE

=

6 2 a- 2 2 a

2 2 a

=

3

-1；
即cot∠BDA=

3

-1．

（2）设所求作的二次项系数为1的一元二次方程为x²+px+q=0，
∵cot∠BDA=

3

-1，
∴tan∠BDA=

1

3- 1

，
∴p=-（cot∠BDA+2tan∠BDA）=-（

3

-1+2×

1

3 - 1

）=-2

3

，
q=cot∠BDA×2tan∠BDA=（

3

-1）×2×

1

3 -1

=2，
∴所求作的一元二次方程为x²-2

3

x+2=0．

点评：本题考查了直角三角形的性质、特殊三角函数值．解本题最关键的是作辅助线AE，构造直角三角形．