Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，过A作⊙O切线交CB延长线于P，PD平分∠APC，交AB、AC于D、E，若AD=

15

4

，AC=10，则

PA

PC

=

 

．

Answer 1

分析：过A作直径AF，连BF，根据圆周角定理的推论得到∠F+∠4=90°，再根据切线的性质得∠3+∠4=90°，则∠3=∠F，于是有∠C=∠F=∠3，易证得∠5=∠6，则AE=AD=

15

4

，可求出EC=AC-AE=10-

15

4

=

25

4

，最后根据△PAD∽△PCE，利用相似比即可求出PA与PC的比值．

解答：解：过A作直径AF，连BF，如图，
∴∠F+∠4=90°，
∵PA是切线，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠F，
而∠C=∠F，
∴∠C=∠3；
又∵PD平分∠APC，
∴∠1=∠2，
而∠5=∠C+∠2，
∠6=∠3+∠1，
∴∠5=∠6，
∴AE=AD=

15

4

，
∴EC=AC-AE=10-

15

4

=

25

4

，
又∵∠1=∠2，∠3=∠C，
∴△PAD∽△PCE，
∴

PA

PC

=

AD

EC

=

15 4

25 4

=

3

5

．
故答案为

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形相似的判定与性质．