题目内容

在平面直角坐标系xOy中，点A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分别在直线m和x轴上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，已知A₁坐标为（1，1），A₂坐标为（ $数学公式$ ）．
（1）求直线m的解析式；
（2）求A₃的坐标；
（3）直接写出点A_n纵坐标．

解：（1）∵A₁（1，1），A₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在直线y=kx+b上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x=0时，y= $\text{[math]}$ ，
当y=0时， $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =0，解得x=-4，
∴点M、N的坐标分别为M（0， $\text{[math]}$ ），N（-4，0），
∴tan∠MNO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
作A₁C₁⊥x轴与点C₁，A₂C₂⊥x轴与点C₂，A₃C₃⊥x轴与点C₃，
∵A₁（1，1），A₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），

∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2× $\text{[math]}$ =2+3=5，
tan∠MNO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃= $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴A₃的坐标为：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）∵A₁（1，1），A₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
A₃的坐标为：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
同理可求，第四个等腰直角三角形A₄C₄= $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）³，
依此类推，点A_n的纵坐标是（ $\text{[math]}$ ）^n-1．
分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，
（2）求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到A₃的坐标；
（3）由（2）得出各点的纵坐标的规律．
点评：此题主要考查了一次函数的综合，主要利用了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形斜边上的高线就是斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及正切的定义，规律性较强，注意指数与点的脚码相差1．