Question

如图1，已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点．
（1）求证：CD=BD；
（2）如图2，把一块直角三角板的直角顶点放置于D点，使两直角边分别与AC、CB边交于E、F．
①试判断DE与DF是否相等，并说明理由；
②当BC=23，AE=15时，求BF、EF的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：几何图形问题

分析：（1）由AC=BC，CD为AB边上的中线，利用三线合一得到CD为角平分线，且CD垂直于AB，得到△ACD与△BCD都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可得证；
（2）①DE=DF，理由为：过D作DG⊥AC，DH⊥BC，证明三角形DEG与三角形DFG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
②利用SAS得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=CF，进而确定出CE=BF，求出EC与CF的长，在直角三角形ECF中，利用勾股定理即可求出EF的长．

解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，
∴∠A=∠B=45°，CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD=45°，且CD⊥AB，
∴△ACD与△BCD都为等腰直角三角形，
∴AD=CD=BD；

（2）解：①DE=DF，理由为：
过D作DG⊥AC，DH⊥BC，
∵∠EDF=∠GDH=90°，
∴∠GDE+∠EDH=90°，∠EDH+∠FDH=90°，
∴∠GDE=∠FDH，
∵CD平分∠ACB，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴DG=DH，
在△DEG和△DFH中，

∠GDE=∠HDF ∠DGE=∠DHF=90° DG=DH

，
∴△DEG≌△DFG（AAS），
∴DE=DF；
②在△AED和△CFD中，

AD=CD ∠ADE∠CDF DE=DF

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴AE=CF=15，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF=23-15=8，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得：EF=

EC2+FC2

=

152+82

=17．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．