Question

如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动，如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s。

（1）求∠OAB的度数；
（2）以OB为直径的⊙O'与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O'相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；
（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由。

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中： tan∠OAB=， ∴∠OAB=30°；
（2）如右图，连接O'P，O'M， 当PM与⊙O'相切时，有∠PMO'=∠POO'=90°， △PMO'≌△POO'， 由（1）知∠OBA=60°， ∵O'M=O'B， ∴△O'BM是等边三角形， ∴∠BO'M=60°， 可得∠OO'P=∠MO'P=60°， ∴OP=OO'·tan∠OO'P =6×tan60°=6， 又∵OP=2t， ∴2t=6，t=3， 即：t=3时，PM与⊙O'相切；
（3）如右图，过点Q作QE⊥x于点E， ∵∠BAO=30°，AQ=4t， ∴QE=AQ=2t， AE=AQ·cos∠OAB=4t×， ∴OE=OA-AE=， ∴Q点的坐标为（，2t）， S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ =，= =， 当t=3时，S△PQR最小=；
（4）分三种情况：如右图： ①当AP=AQ1=4t时， ∵OP+AP=， ∴t+4t=， ∴t=； ②当PQ2=AQ2=4t时， 过Q2点作Q2D⊥x轴于点D， ∴PA=2AD=2AQ2·cosA=t， 即， ∴t=2； ③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H， AH=PA·cos30°==18-3t， AQ3=2AH=36-6t，得36-6t=4t， ∴t=3.6， 综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形。