Question

6．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）求证：PC²=PA•PB；
（3）若PA=2，PC=2$\sqrt{3}$，求阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接OC，由PD切⊙O于点C，得到OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠DBC=∠BCO，根据的预计实现的性质得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OBC=∠CBD，于是得到即可；
（2）连接AC，由AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据图形的面积公式即可得到结果．

解答 解：（1）连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC=∠BCO，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBD，
∴BC平分∠PBD；

（2）连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠ABC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠ACP=∠ABC，
∵∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PC}$，
∴PC²=PA•PB；

（3）∵PC²=PA•PB，PA=2，PC=2$\sqrt{3}$，
∴PB=6，
∴AB=4，
∴OC=2，PO=4，
∴∠POC=60°，
∴S_阴影=S_△POC-S_扇形=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．