Question

【题目】矩形中，为中点、为中点，为延长线上一点，连接并延长交与点，连接，求证：．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

设AC、EF相交于点K，延长FH与DA的延长线相交于点M，延长GH与AD相交于点N，求出△AMH和△KFH相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，求出△ANH和△KEH相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后求出AM=AN，再利用“角边角”证明△AEN和△BEG全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=BG，然后求出DM=CG，再利用“边角边”证明△DFM和△CFG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠M=∠CGF，然后根据平行线的性质可得∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，再等量代换即可得证．

证明：如图，设、相交于点，延长与的延长线相交于点，延长与相交于点，

∵为中点、为中点，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∵为中点、为中点，是对角线，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴．