题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），B点在第一象限，BO=BA=5，若M、N是OB和OA中点，
（1）直线MN的解析式为
 
．
（2）△ABN面积=
 
．
（3）将图（1）中的△NMO绕点O旋转一周，在旋转过程中，△ABN面积是否存在最大值、最小值？若不存在，请说明理由；若存在请在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；
（4）将图（1）中的△NMO绕点O旋转，当点N在第二象限时，如图（2），设N（x，y），△ABN的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
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分析：（1）要求MN的解析式，要想法求出点M、N的坐标，N是中点，很容易求出N点的坐标，作MC⊥OA，通过解直角三角形可以求出M的坐标，从而求出直线MN的解析式．
（2）连接MN，N是中点，OB=AB，说明△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以知道BN⊥OA，且利用勾股定理可以求出BN的长度，从而求出三角形ABN的面积．
（3）在旋转的过程中，当N点落在线段OB上时，△ABN的面积最小，当N点落在线段OB的反向延长线上时，△ABN的面积最大，可以根据面积公式求出其值．
（4）过点N作OA的垂线交OA于E，交AB的延长线于点F，求出EF、ED、AE的长度，利用S△ANF减去S△BNF就是△ABN的面积．
解答：精英家教网解：（1）作MC⊥OA于C
∵A（8，0）
∴OA=8
∵M、N是OA、OB的中点
∴MN是△AOB的中位线，ON=AN=4，OM=BM=
5
2

∴MN=
1
2
AB=
5
2
，N（4，0）
∴OM=MN
∴OC=NC=2，在Rt△OCM中，由勾股定理得，
MC=
3
2

∴M（2，
3
2
）
设：y=kx+b，由题意得
0=4k+b
3
2
=2k+b
解得：
k=-
3
4
b=3

∴MN的解析式为：y=-
3
4
x+3

（2）∵
MC
BN
=
1
2
，且MC=
3
2
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∴BN=3
∴S△ABN=
3×4
2
=6

（3）当N点到达G点时△ANB的面积最小为：
12
5

当N点到达H点时△ANB的面积最大为：
108
5


（4）过点N作NF⊥OA于E交AB的延长线于点F，BD⊥OA于A
∴BD=3，OD=AD=4
∵N（x，y），点N在第二象限精英家教网
∴NE=y，EO=-x
∴AE=8-x
∵NF⊥OA，BD⊥OA
∴ADB△∽△AEF
∴
DB
EF
=
AD
AE

∴
3
EF
=
4
8-x

∴EF=
24-3x
4

在Rt△NEO中由勾股定理得：
y2+（-x）2=42
∴y=
16-x2

NF=
24-3x
4
-
16-x2

∵S△ABN=S△AFN-S△NBF
∴S△ABN=
(
24-3x
4
-
16-x2
)(8-x)
2
- 
(
24-3x
4
-
16-x2
)(4-x)
2

∴S=
24-3x-4
16-x2
2
．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了利用求点的坐标求函数的解析式，三角形的面积，旋转过程中的面积最大值和最小值．是一道综合性较强的试题．
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BD
AB
=
5
8
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
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