题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米；点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度移动；如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设移动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD的面积与四边形ABQP的面积相等？
（3）设四边形PQCD的面积为y，求y与t的函数关系式？探索四边形PQCD的面积是否存在最大值？若存在，最大值是多少？若不存在，说明理由？
【答案】分析：（1）求出DP=CQ时t的值即可；
（2）求出四边形PQCD的面积与四边形ABQP的面积，得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据一次函数的性质根据0≤t≤
，y随t的增大而增大，求出y=96+8t中y的最大值即可．
解答：解：（1）在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
由题意得：3t=24-t，
解得t=6秒．
答：当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）解：由题意得：四边形PQCD的面积=
，
四边形ABQP的面积=
，
由题意得：96+8t=104-8t，解得t=0.5秒，
答：当t=0.5秒时，四边形PQCD的面积与四边形ABQP的面积相等；
（3）解：由（2）知：y=96+8t，四边形PQCD的面积存在最大值，理由如下：
∵0≤t≤
，y随t的增大而增大，
∴当t=
时，y有最大值=96+8×
=
．
答：y与t的函数关系式是y=96+8t，四边形PQCD的面积存在最大值，最大值是
．
点评：本题主要考查对直角梯形，平行四边形的性质和判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
（2）求出四边形PQCD的面积与四边形ABQP的面积，得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据一次函数的性质根据0≤t≤
，y随t的增大而增大，求出y=96+8t中y的最大值即可．解答：解：（1）在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
由题意得：3t=24-t，
解得t=6秒．
答：当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）解：由题意得：四边形PQCD的面积=
，四边形ABQP的面积=
，由题意得：96+8t=104-8t，解得t=0.5秒，
答：当t=0.5秒时，四边形PQCD的面积与四边形ABQP的面积相等；
（3）解：由（2）知：y=96+8t，四边形PQCD的面积存在最大值，理由如下：
∵0≤t≤
，y随t的增大而增大，∴当t=
时，y有最大值=96+8×
=
．答：y与t的函数关系式是y=96+8t，四边形PQCD的面积存在最大值，最大值是
．点评：本题主要考查对直角梯形，平行四边形的性质和判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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