题目内容

如图，直角梯形ADEB中，∠D=∠E=90°，△ABC是等边三角形，C点在DE上，AD=7，BE=11，则等边△ABC的面积是________．

31 $\text{[math]}$
分析：作AF⊥BE交BE于F，设CE长为x，DC长为y，根据AB=AC=BC及勾股定理可得到关于xy的方程，求得xy的值，再根据△ABC的面积=梯形的面积-△ADC的面积-△BEC的面积计算求解即可．
解答：

解：如图作AF⊥BE交BE于F，设CE长为x，DC长为y，则AF=DE，AD=EF．
根据勾股定理得：AD²+DC²=AC²，CE²+BE²=BC²，AF²+BF²=AB²，
即7²+y²=AC²，x²+11²=BC²，（x+y）²+（11-7）²=AB²，
∵△ABC是等边三角形，即AB=AC=BC，
∴y²-x²=72，x²+2xy=33，
解得x= $\text{[math]}$ ，y=5 $\text{[math]}$ ．则DE=6 $\text{[math]}$ ．
∴△ABC的面积=梯形的面积-△ADC的面积-△BEC的面积
= $\text{[math]}$ （7+11）×6 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×11- $\text{[math]}$ ×5 $\text{[math]}$ ×7=31 $\text{[math]}$ ．
故答案填：31 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了直角梯形、等边三角形的性质及勾股定理的应用，解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．