题目内容
如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
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解：（1）CD=BE．理由如下:
∵△ABC和△ADE为等边三角形
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o
∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，
∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD
∴CD=BE
（2）△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形．
设AD=a，则AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．
∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，
∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o．
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD=
．
∵N为DC中点，
∴
， ∴
．
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN
解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形
设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a
易证BE⊥AC，∴BE=
，
∴
∴
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN
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优翼小帮手同步口算系列答案
利用三角形内角和，探究四边形内角和：
