题目内容

已知：如图，抛物线 $数学公式$ 与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，（点A在点B的左侧）且满足OC=4OA．设抛物线的对称轴与x轴交于点M：
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求直线AQ的解析式．

解：（1）令x=0，则y=4，
∴点C（0，4），
OC=4，
∵OC=4OA，
∴OA=1，
∴点A（-1，0），
把点A坐标代入抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+mx+4得，- $\text{[math]}$ ×（-1）²+m×（-1）+4=0，
解得m= $\text{[math]}$ ，
∴抛物线解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
∵抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ =2，
∴点M的坐标为（2，0）；

（2）∵OM=2，OC=4，
∴CM= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
令y=0，则- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4=0，
整理得x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴点B的坐标为（5，0），
∴OB=5，
∴BM=OB-OM=5-2=3，
如图，①∠BQM=90°时，△COM和△BQM相似，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得BQ= $\text{[math]}$ ，
过点Q作QD⊥x轴于D，
则BD=BQ•cos∠QBM= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，QD=BQ•sin∠QBM= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OD=OB-BD=5- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点Q的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
设直线AQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AQ的解析式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

②∠MBQ=90°时，△COM和△QBM相似，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得BQ=6，
∴点Q的坐标为（5，-6），
设直线AQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AQ的解析式为y=-x-1；
综上所述，当△QMB与△COM相似时，求直线AQ的解析式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 或y=-x-1．
分析：（1）令x=0求出点C的坐标，再求出OA的长度，然后写出点A的坐标，代入抛物线求出m的值，即可得解，再利用对称轴解析式求出点M的坐标即可；
（2）求出OM的长，再利用勾股定理列式求出CM，令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，得到OB的长度，再求出BM，然后分①∠BQM=90°时，△COM和△BQM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，过点Q作QD⊥x轴于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，从而写出点Q的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；②∠MBQ=90°时，△COM和△QBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，再写出点Q的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质，解直角三角形，难点在于（2）要分情况讨论．