题目内容
在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．（1）求BC的长；
（2）点P为斜边BC上的一个动点（P与B、C不重合），PC=xcm，以点P为中心把△ABC按逆时针方向旋转90°至△DEF．
①当点P在如图所示的位置时，DF交AC、BC分别于点N、Q，EF交AC于点M，求MF的长；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为ycm2，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
分析：（1）因为ABC为直角三角形，由两条边的长结合勾股定理求解即可．
（2）①由条件EF⊥BC于P，∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC，根据比例关系求出MP的长，即可得出FM的长．
②先根据题意结合图形求出x的取值范围，得出当x=
、
时为分界点，当x在不同区间时，面积有不同的求解方法，分不同的区间求解即可．
（2）①由条件EF⊥BC于P，∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC，根据比例关系求出MP的长，即可得出FM的长．
②先根据题意结合图形求出x的取值范围，得出当x=
| 20 |
| 7 |
| 16 |
| 5 |
解答：解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴根据勾股定理得BC=5cm．
（2）①∵绕点P旋转90°，EF⊥BC于P，∠MPC=90°
又∠C=∠C，
∴△PMC∽△ABC，
∴
=
，
∴MP=
，
∵PC=PM=x，
∴FM=
．
②当A与N重合时．
由PC=x可得MC=
，AM=4-
△FNM∽△CPM，
解得x=
；
当A与M重合时，容易求得x=
，
i）当0＜x≤
时
y=S△FPQ-S△FNM=S△CPM-S△FNM=
；
ii）当
＜x≤
时
y=S△ABC-S△CPM=6-
；
iii）当
＜x＜5时，
y=S△MPB=
(5-x)2．
∴根据勾股定理得BC=5cm．
（2）①∵绕点P旋转90°，EF⊥BC于P，∠MPC=90°
又∠C=∠C，
∴△PMC∽△ABC，
∴
| MP |
| AB |
| PC |
| AC |
∴MP=
| 3x |
| 4 |
∵PC=PM=x，
∴FM=
| x |
| 4 |
②当A与N重合时．
由PC=x可得MC=
| 5x |
| 4 |
| 5x |
| 4 |
△FNM∽△CPM，
解得x=
| 20 |
| 7 |
当A与M重合时，容易求得x=
| 16 |
| 5 |
i）当0＜x≤
| 20 |
| 7 |
y=S△FPQ-S△FNM=S△CPM-S△FNM=
| 9x2 |
| 25 |
ii）当
| 20 |
| 7 |
| 16 |
| 5 |
y=S△ABC-S△CPM=6-
| 3x2 |
| 8 |
iii）当
| 16 |
| 5 |
y=S△MPB=
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了二次函数的运用，解题时要注意结合图形，分情况解题，不要漏掉一种情况．
练习册系列答案
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6、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是
使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ=2PC，连接PQ交线段AE于点M．
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=10，PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？