Question

如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒个单位的速度沿DA向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒）
（1）求点A的坐标；
（2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH=？

Answer 1

解：（1）∵点C的坐标为（3，4），
∴OC==5，
又∵四边形OABC为菱形，
∴OA=OC=5，
∴点A的坐标为（5，0）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（5，0）和点C（3，4）分别代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
∴OD=10，
∴AD==5，
延长BC交OD于M，则CM=3，OM=4，
∴DM=10-4=6，
DC==3；
①当点P在线段AB上，Q在线段CD上，
PA=2t，DQ=t，CQ=3-t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠PAH=∠OAD，
∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5，
∴PH=t，AH=t，
∴S=QC•PH=•（3-t）•t=-2t2+6t（0＜t≤2.5）
②当点P在线段BC上，Q在线段CD上，
PC=10-2t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
易证Rt△PCH∽Rt△DAO，
∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5，
∴PH=4-t，CH=2-t，
∴S=PH•CQ=•（4-t）•（3-t）=2t²-16t+30（2.5＜t＜3）；
③当点P在线段BC上，Q在线段CA上，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
由②知PH=4-t，
∴S=PH•CQ=•（4-t）•（t-3）=-2t²+16t-30（3＜t＜5）；

（3）当0＜t≤2.5，
∵PH=t，AH=t，
∴QH=5-t-t=5-t，
∵tan∠PQH=，
∴PH：QH==，解得t=；
当2.5＜t＜3，
∵PH=4-t，CH=2-t，
∴QH=3-t+2-t=5-t，
∵tan∠PQH=，
∴PH：QH=（4-t）：（5-t）=，解得t=（舍去）；
当3＜t＜5，
∵PH=4-t，CH=2-t，
∴QH=t-3-（2-t）=t-5，
∵tan∠PQH=，
∴PH：QH=（4-t）：（t-5）=，解得t=；
∴点P在运动的过程中t为或时，tan∠PQH=．
分析：（1）由点C的坐标为（3，4），利用勾股定理得到OC的长，利用菱形的性质得到OA的长，即可确定点A的坐标；
（2）先利用待定系数法确定直线AC的解析式，得到DO=10，利用勾股定理得到DC、DA的长．然后分类讨论：①当点P在线段AB上，Q在线段CD上；②当点P在线段BC上，Q在线段CD上；③当点P在线段BC上，Q在线段CA上；过点P作PH⊥AD于H，利用三角形相似比表示出PH，在根据三角形的面积公式分别表示出S；
（3）分类讨论：当0＜t≤2.5；当2.5＜t＜3；当3＜t＜5，由（2）知道PH，然后分别表示出对应的QH，再根据正切的定义得到PH：QH=，解关于t的方程，得到满足条件的t的值即可．
点评：本题考查了一次函数的综合题：利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后根据解析式确定线段的长或根据相似比求线段的长．也考查了菱形的性质、三角函数的定义以及分类讨论思想的运用．