Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c交x轴于点A(－3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，－3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y＝－x＋m过点C，交y轴于D点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

(3)在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋3) 　　∵抛物线交y轴于点E(0，－3)，将该点坐标代入上式，得a＝1 　　∴所求函数表达式为y＝(x－1)(x＋3)， 　　即y＝x2＋2x－3； 　　(2)∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标(－3，0)，点B坐标(1，0)， 　　∴点C坐标(5，0)， 　　∴将点C坐标代入y＝－x＋m，得m＝5， 　　∴直线CD的函数表达式为y＝－x＋5， 　　设K点的坐标为(t，0)，则H点的坐标为(t，－t＋5)，G点的坐标为(t，t2＋2t－3)， 　　∵点K为线段AB上一动点， 　　∴－3≤t≤1， 　　∴HG＝(－t＋5)－(t2＋2t－3)＝－t2－3t＋8＝－(t＋)2＋， 　　∵－3＜－＜1， 　　∴当t＝－时，线段HG的长度有最大值； 　　(3)∵点F是线段BC的重点，点B(1，0)，点C(5，0)， 　　∴点F的坐标为(3，0)， 　　∵直线l过点F且与y轴平行， 　　∴直线l的函数表达式为x＝3， 　　∵点M在直线l上，点N在抛物线上， 　　∴设点M的坐标为(3，m)，点N的坐标为(n，n2＋2n－3)， 　　∵点A(－3，0)，点C(5，0)， 　　∴AC＝8， 　　分情况讨论： 　　①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN＝AC＝8． 　　当点N在点M的左侧时，MN＝3－n， 　　∴3－n＝8，解得n＝－5， 　　∴N点的坐标为(－5，12)， 　　当点N在点M的右侧时，MN＝n－3， 　　∴n－3＝8， 　　解得n＝11， 　　∴N点的坐标为(11，140)， 　　②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为(－1，0) 　　过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N， 　　将x＝－1代入y＝x2＋2x－3，得y＝－4， 　　过点N，B作直线NB交直线l于点M， 　　在△BPN和△BFM中， 　　∠NBP＝∠MBF， 　　BF＝BP， 　　∠BPN＝∠BFM＝90°， 　　∴△BPN≌△BFM， 　　∴NB＝MB，∴四边形ANCM为平行四边形， 　　∴坐标(－1，－4)的点N符合条件， 　　∴当N的坐标为(－5，12)，(11，140)，(－1，－4)时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．