Question

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.

Answer 1

（1）见解析   （2）PA=PB=AB=2.

（1）证明：连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°－30°－30°=120°.
∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=
∠OPB=∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA= ==2.
∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2.