Question

为喜迎佳节，沙坪坝区某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p（盒）与时间x（天）的关系如下表：

时间x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	…
日销售量p（盒）	78	76	74	72	70	…

在这30天内，前20天每天的销售价格y₁（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为y1=

1

4

x+25（1≤x≤20，且x为整数），后10天每天的销售价格y₂（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为y2=-

1

2

x+40（21≤x≤30，且x为整数）．
（1）直接写出日销售量p（盒）与时间x（天）之间的关系式；
（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a的值．
注：销售利润=（售价-成本价）×销售量．

Answer 1

（1）p=-2x+80；

（2）设日销售利润为w元，
则w=(-2x+80)(

1

4

x+25-20)=-

1

2

(x-10)2+450（1≤x≤20）；
w=(-2x+80)(-

1

2

x+40-20)=(x-40)2（21≤x≤30）；
∵w=-

1

2

(x-10)2+450（1≤x≤20）的对称轴为：x=10，
∴当x=10时，w=-

1

2

(x-10)2+450（1≤x≤20）取得最大值，最大利润是450元．
∵w=（x-40）²（21≤x≤30）的对称轴为x=40，
且当21≤x≤30时函数值随x的增大而减小
∴当x=21时，w=（x-40）²（21≤x≤30）取得最大值，最大利润是361元，
综上可知，当x=10时，利润最大，最大利润是450元．
这30天中第10天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元．

（3）当x=30时，销售价格为：y2=-

1

2

x+40=25（元），
日销售量为：p=-2x+80=20（盒），
则[25（1-a%）-20]×20（1+4a%）=450-380，
化简得：a²+5a-150=0，
解得：a₁=-15（舍去），a₂=10，
答：a的值为10．