Question

（2013•许昌一模）某次数学课上，老师出示了一道题，如图1，在边长为4等边三角形ABC中，点E在AB上．

AE

AB

=

1

3

．点D在CB的延长线上，且ED=EC，求CD的长．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EF∥BC，交AC于点F．先确定线段，AE与BD的大小关系是

AE=BD

，然后求出CD的长为

16

3

．
（2）类比延伸
如图2，在原题条件下，若

AE

AB

=

1

n

（n＞0），△ABC边长为m，则CD的长为

mn+m

n

（用含n，m的代数式表示）试写出解答过程．

Answer 1

分析：（1）易证△AEF是等边三角形，则可以证明△BDE≌△FEC，即可证得EF=BD，则AE=BD可以证得；
（2）与（1）的证明完全相同，证明BD=AE，则求得BD的长，进而得到CD的长．

解答：解：（1）∵EF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE=EF=AF，
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，
∵EF∥BC，
∴∠ECB=∠FEC，
∴∠FEC=∠D，
∵∠AFE=∠ABC=60°，
∴∠EBD=∠CFE，
在△BDE和△FEC中，

∠D=∠FEC ∠EBD=∠CFE BE=CF

，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD
又∵AE=EF，
∴AE=BD．
∴BD=AE=

1

3

AB=

4

3

，
则CD=BC+BD=4+

4

3

=

16

3

；


（2）同（1）作EG∥BC，
则BD=AE=

1

n

AB=

m

n

．
∴CD=BC+BD=m+

m

n

=

mn+m

n

．
故答案是：AE=BD，

16

3

；

mn+m

n

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明BD=AE是关键．