Question

如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y=ax²+bx﹣3经过A、C两点．

（1）求a、b的值；

（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；

（3）设（2）中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．

Answer 1

              解：（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣3经过A（﹣1，0）、C（3，0），

∴，

解得：；

（2）设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，

则新抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3+k，

∵A（﹣1，0）、C（3，0），

∴CB=AC=3﹣（﹣1）=4，

∵∠ACB=90°，∴点B的坐标为（3，4）．

∵点B（3，4）在抛物线y=x²﹣2x﹣3+k上，

∴9﹣6﹣3+k=4，

解得：k=4，

∴新抛物线的解析式为y=x²﹣2x+1；

（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，

则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，

∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，

∴四边形QECD是矩形．

∵QD=QE，

∴矩形QECD是正方形，

∴QD=DC．

设点Q的横坐标为t，

则有OD=t，QD=DC=OC﹣OD=3﹣t，

∴点Q的坐标为（t，3﹣t）．

∵点Q在抛物线y=x²﹣2x+1上，

∴t²﹣2t+1=3﹣t，

解得：t₁=2，t₂=﹣1．

∵Q为抛物线y=x²﹣2x+1上P点至B点之间的一点，

∴t=2，点Q的坐标为（2，1），

∴OD=2，QD=CD=1．

由y=x²﹣2x+1=（x﹣1）²得顶点P的坐标为（1，0），

∴OP=1，PD=OD﹣OP=2﹣1=1，

∴S_{四边形ABQP}=S_△ACB﹣S_△PDQ﹣S_梯形DQBC

=AC•BC﹣PD•QD﹣（QD+BC）•DC

=×4×4﹣×1×1﹣×（1+4）×1

=5，

∴四边形ABQP的面积为5．