Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3

（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.

（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能， 请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.

 

Answer 1

解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6

∴AH=AC=×6=4

又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB

∴=，即=，

∴HG=

∴S_△AHG=AH?HG=×4×=

（2）①能为正方形

∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形

又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形

又CH=AC-AH=6-4=2

∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形

此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形

②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB

∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.

过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===

∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=

∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=

∴y=

（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.

而S_边形CBGH=S_△ABC-S_△AHG=×8×6-=

S_{矩形CDH′H}=2t

∴y=-2t

（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.

\BD=8-t

又=tan∠ABC=

∴PD=DB=（8-t）　　　　 ∴重叠部分的面积y=S

△PDB=PD?DB

=?（8-t）（8-t）

=（8-t）²=t²-6t+24

∴重叠部分面积y与t的函数关系式：

y=（0≤t≤4）

-2t（4＜t≤5）

t²-6t+24（5＜t≤8）