Question

（2013•富宁县模拟）将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，连接BF，根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；
（2）画出图形，此时AF+EF≠DE，而是AF-EF=DE；
（3）（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE，连接BF，根据HL证Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．

解答：（1）证明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．
连接BF．
∵在Rt△BCF和Rt△BEF中

BC=BE BF=BF

，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF=EF，
∵AC=DE，CF+FA=CA，
∴AF+EF=DE；

（2）解：如图2所示，
此时AF+EF≠DE；

（3）解：（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE．理由是：
连接BF．
在Rt△BEF和Rt△BCF中

BE=BC BF=BF

，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=FC，
∵AC=DE，
由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，证明过程类似．