Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l₁、l₂、l₃、l₄上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h₁、h₂、h₃（h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0）。
（1）求证h₁=h₃；
（2） 设正方形ABCD的面积为S.求证S=（h₂+h₃）2+h₁²；
（3）若，当h₁变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h₁的变化情况。

Answer 1

解：（1）过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，证△ABE≌△CDG即可；
（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h₁、h₁+h₂，四边形EFGH是边长为h₂的正方形，所以；
（3）由题意，得
所以

又
解得0＜h₁＜
∴当0＜h₁＜时，S随h₁的增大而减小；
当h₁=时，S取得最小值；
当＜h₁＜时，S随h₁的增大而增大。