Question

已知A（-1，0），B（0，-3），点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E．
（1）若点D（ 0，1），过点B作BF⊥CD于F，求∠DBF的度数及四边形ABFD的面积；
（2）若点G（G不与C重合）是动直线CD上一点，点D在点（0，1）的上方，且BG=BA，试探究∠ABG与∠ECA之间的等量关系．

Answer 1

解：（1）如图1，依题意，C（1，0），OC=1．
由D（0，1），得OD=1．
在△DOC中，∠DOC=90°，OD=OC=1．可得∠CDO=45°．
∵BF⊥CD于F，
∴∠BFD=90°，
∴∠DBF=90°-∠CDO=45°．
∴FD=FB．
由D（0，1），B（0，-3），得BD=4．
在Rt△DFB中，∠DFB=90°，根据勾股定理，得
∴FD=FB=2．
∴S_△BFD=×BF•FD=×2×2=4，．
而S_△ADB=BD•AO=×4×1=2，
四边形ABFD的面积=4+2=6
（2）如图2，连接BC．
∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO．
设∠CBO=α，则∠ABO=α，∠ACB=90°-α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BF⊥CD，
∴∠CBF=∠GBF．
设∠CBF=β，则∠GBF=β，∠BCG=90°-β．
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β），∠ECA=α+β，
∴∠ABG=2∠ECA．
分析：（1）首先求出∠CDO=45°，因为BF⊥CD于F，所以∠BFD=90°，所以∠DBF=90°-∠CDO=45°；若要求出四边形ABFD的面积，则可分别求出S_△BFD和S_△ADB的面积即可；
（2）∠ABG与∠ECA之间的等量关系为∠ABG=2∠ECA，设∠CBO=α，则∠ABO=α，∠ACB=90°-α．利用三角形的内角和证明即可．
点评：本题考查了勾股定理的运用，直角三角形的判定和性质，垂直的定义以及三角形的内角和定理，题目的综合性很强，难度中等．