Question

如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G．

（1）求证：BF=AE+FG；

（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）四边形ABFG的面积是

【解析】

试题分析：（1）连结AC，交BD于点O，由已知条件和菱形的性质可以证明△ABO≌△DAE和△AOF≌△AGF，由全等三角形的性质即可证明BF=AE+FG；

（2）首先求出△ABD的面积是，再求出RT△DFG的面积是，进而可求出四边形ABFG的面积是．

试题解析：连结AC，交BD于点O．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，∠4=∠ABC，∠2=∠ADC，AC⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴∠2=∠4=∠ABC=30°，

又∵AE⊥CD于点E，

∴∠AED=90°，

∴∠1=30°，

∴∠1=∠4，∠AOB=∠DEA=90°，

∴△ABO≌△DAE，

∴AE=BO．

又∵FG⊥AD于点G，

∴∠AOF=∠AGF=90°，

又∵∠1=∠3，AF=AF，

∴△AOF≌△AGF，

∴FG=FO．

∴BF=AE+FG．

（2）【解析】
∵∠1=∠2=30°，

∴AF=DF．

又∵FG⊥AD于点G，

∴AG=AD，

∵AB=2，

∴AD=2，AG=1．

∴DG=1，AO=1，FG=，BD=2，

∴△ABD的面积是，RT△DFG的面积是

∴四边形ABFG的面积是．

考点：1.菱形的性质；2.全等三角形的判定与性质