Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．

（1）求证：ED是⊙O的切线；

（2）若DF=3，cosA=，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）⊙O的直径为．

【解析】

试题分析：（1）连结OD、BD，先根据圆周角定理得到∠BDC=90°，再根据等腰三角形的性质得到AD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AB，加上DE⊥AB，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理得ED是⊙O的切线；

（2）根据等腰三角形的性质由AB=AC得到∠A=∠C，在Rt△CFD中利用余弦定理得到cosC==cosA=，则可设CF=2x，CD=3x，利用勾股定理得到DF=x，所以x=3，解得x=3，于是计算出CD=9，然后在Rt△BCD中利用余弦的定义计算出BC的长即可．

试题解析：（1）连结OD、BD，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴BD⊥AC，

而BA=BC，∴AD=CD，而OB=OC，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴ED是⊙O的切线；

（2）∵AB=AC，∴∠A=∠C，在Rt△CFD中，cosC==cosA=，

设CF=2x，CD=3x，

∴DF==x，∴x=3，解得x=3，∴CD=9，

在Rt△BCD中，∵cosC==，∴BC=×9=，

即⊙O的直径为．