题目内容
如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx(m〉0)与x轴的另一个交点为A.过点P（1,m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP.
（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.
（1）当m=3时，y=-x2+6x
令y=0 得：-x2+6x=0，∴x1=0，x2=6，∴A（6，0）．
当x=1时，y=5,∴B（1，5）
∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3,B、C关于对称轴x=3对称,∴BC=4．
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB，
∴
∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，B、C关于对称轴对称，
∴BC=2（m-1），
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0）
∴AH=1，CH=2m-1，
∴
∴m=
（3）∵B、C不重合，∴m≠1，
（I）当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．
∵PC=EP，∠CBP=∠PME=90°，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m-1）=m，
∴m=2，ME=BP=m-1=1,此时点E的坐标是（2，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2，NE=BC=2(m-1)=2,ON=m=2,OE=4，
此时点E的坐标是（0，4）；
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，
（i）若点E在x轴上（如图3），
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1-m）=m，
∴m=
，ME=BP=1-m=
,
此时点E的坐标是（
，0）
（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1-m=1，
∴m=0（舍去）
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）．
（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为
如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为
，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（ ）