Question

如图，已知A（1，

3

），B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，则点C坐标为（　　）

• A、（2，0）
• B、（

  3

  ，0）
• C、（

  3

  -1，0）
• D、（2

  3

  -2，0）

Answer 1

分析：先由A（1，

3

），B（4，0）求出OA，AB，通过勾股定理逆定理得△AOB为直角三角形且∠ABO=30°，再过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，由∠OAB的平分线AC得CE=CF，然后由
△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积求出CF，在直角三角形BFC中，由三角函数求出BC，从而求出OC，即得点C的坐标．

解答：解：已知A（1，

3

），B（4，0），
∴OA=

(1-0)2+( 3 -0)2

=2，
AB=

(4-1)2+(0- 3 )2

=2

3

，
OB=4，
2²+(2

3

)2=4²，即：OA²+AB²=OB²，
∴△AOB为直角三角形，∠OAB=90°，
又OA=2，OB=4，
∴∠ABO=30°，
过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，
∵∠OAB的平分线AC，
∴CE=CF，
△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积，
则：

1

2

OA•CE+

1

2

AB•CF=

1

2

OA•AB，
∴CF+

3

CF=2

3

，
得：CF=3-

3

，
在直角三角形BFC中，
BC=

CF

sin30°

=

3- 3

1 2

=6-2

3

，
∴OC=OB-BC=4-（6-2

3

）=2

3

-2，
所以点C的坐标为：（2

3

-2，0），
故选：D．

点评：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是运用两点间的距离公式通过计算得出△AOB为直角三角形且∠ABO=30°，再运用三角形面积求出CF，利用直角三角形三角函数求解．