题目内容

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且 $数学公式$ ．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O'在反比例函数 $数学公式$ 的图象上，求反比例函数 $数学公式$ 的解析式；
（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l'，l'交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数 $数学公式$ 的图象交于点Q，当四边形APQO'的面积为 $数学公式$ 时，求θ的值．

（1）证明：∵方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0是一元二次方程，

∴a-1≠0，即a≠1．
∴△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，而（3a-4）²≥0，
∴△≥0．
所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，
∴m+n=- $\text{[math]}$ ，mn= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴a=2，即可求得m=1，n=3．
∴y=x+3，则A（-3，0），B（0，3），
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（-3，3），把（-3，3）代入反比例函数 $\text{[math]}$ ，得k=-9，
所以反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ；

（3）解：设点P的坐标为（0，P），延长PQ和AO′交于点G．
∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，
∴四边形AOPG为矩形．
∴Q的坐标为（- $\text{[math]}$ ，p），
∴G（-3，P），
当0°＜θ＜45°，即p＞3时，
∵GP=3，GQ=3- $\text{[math]}$ ，GO′=p-3，GA=p，
∴S_{四边形APQO′}=S_△APG-S_△QGO′= $\text{[math]}$ ×p×3- $\text{[math]}$ ×（3- $\text{[math]}$ ）×（p-3）=9- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =9- $\text{[math]}$ ，
∴p= $\text{[math]}$ ．（合题意）
∴P（0， $\text{[math]}$ ）．则AP=6，OA=3，
所以∠PAO=60°，∠θ=60°-45°=15°；
当45°≤θ＜90°，则p=-3，
用同样的方法也可求得p= $\text{[math]}$ ，这与p=-3相矛盾，舍去．
所以旋转角度θ为15°．
分析：（1）由方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，即可得到△≥0．
（2）先利用求根公式求出两根3， $\text{[math]}$ ，再代入 $\text{[math]}$ ，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数 $\text{[math]}$ ，即可确定反比例函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（- $\text{[math]}$ ，p）．四边形APQO'的面积=S_△APG-S_△QGO′= $\text{[math]}$ ，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．
点评：题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质．