题目内容

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0） 两点，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给予证明；如果不相似，请说明理由。

解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），
根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）如图，由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4），
设对称轴与x轴的交点为F，连接DF，
∴S四边形ABDE=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，

；
（3）相似，证明：如图，过B作BG⊥DF于G，

∴

 ∴BD2+BE2=20，DE2=20，
即：BD2+BE2=DE2，
所以△BDE是直角三角形，
∴∠AOB=∠DBE=90°，
且，
∴△AOB∽△DBE。
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，
 
）；
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