Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，3），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．

（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；

（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；

（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）D（0，）；（2）C（12﹣6，12﹣18）；（3）B'（2+，0），（2﹣，0）.

【解析】

(1)设OD为x，则BD=AD=3，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；

(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；

(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.

（Ⅰ）设OD为x，

∵点A（3，0），点B（0，），

∴AO=3，BO=

∴AB=6

∵折叠

∴BD=DA

在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．

∴9+OD2=（﹣OD）2．

∴OD=

∴D（0，）

（Ⅱ）∵折叠

∴∠BDC=∠CDO=90°

∴CD∥OA

∴且BD=AC，

∴

∴BD=﹣18

∴OD=﹣（﹣18）=18﹣

∵tan∠ABO=，

∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°

∵tan∠ABO=，

∴CD=12﹣6

∴D（12﹣6，12﹣18）

（Ⅲ）如图：过点C作CE⊥AO于E

∵CE⊥AO

∴OE=2，且AO=3

∴AE=1，

∵CE⊥AO，∠CAE=60°

∴∠ACE=30°且CE⊥AO

∴AC=2，CE=

∵BC=AB﹣AC

∴BC=6﹣2=4

若点B'落在A点右边，

∵折叠

∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA

∴B'E=

∴OB'=2+

∴B'（2+，0）

若点B'落在A点左边，

∵折叠

∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA

∴B'E=

∴OB'=﹣2

∴B'（2﹣，0）

综上所述：B'（2+，0），（2﹣，0）