Question

如图，边长为9的等边△ABC中，有一个小的等边△DEF，其中D，E，F三点分别在AF，AC，BC上，且BF：CF=1：2，则等边△DEF的边长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：根据等边三角形性质求出∠B=∠C=∠DFE=60°，求出∠BAF=∠CFE，推出△BAF∽△CFE，求出CE，过E作EH⊥BC于H，求出EH，根据勾股定理求出EF即可．

解答：解：∵等边三角形ABC的边长是9，BF：CF=1：2，
∴BF=3，CF=6，
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DFE=60°，
∴∠BAF+∠AFB=180°-60°=120°，
∠AFB+∠CFE=120°，
∴∠BAF=∠CFE，
∵∠B=∠C，
∴△BAF∽△CFE，
∴

AB

BF

=

CF

CE

，
∴

9

3

=

6

CE

，
∴CE=2，
过E作EH⊥BC于H，
则∠EHC=∠EHF=90°，
∵∠C=60°，
∴∠HEC=30°，
∴CH=

1

2

CE=

1

2

×2=1，由勾股定理得：EH=

22-12

=

3

，
∴FH=6-1=5，
在Rt△EHF中，由勾股定理得：EF=

52+( 3 )2

=2

7

，
即等边△DEF的边长为2

7

，
故答案为：2

7

．

点评：本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出FH和EH的长．