Question

如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．

（1）求证：CF与⊙O相切；

（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．

Answer 1

    （1）证明：如图所示：连接OF、OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，

∵E为BC边中点，AO=DO，

∴AO=AD，EC=BC，

∴AO=EC，AO∥EC，

∴四边形OAEC是平行四边形，

∴AE∥OC，

∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∴∠DOC=∠FOC，

∵在△ODC和△OFC中

，

∴△ODC≌△OFC（SAS），

∴∠OFC=∠ODC=90°，

∴OF⊥CF，

∴CF与⊙O相切；

（2）解：如图所示：连接DE，

∵AO=DO，AF=EF，AD=2，

∴DE=20F=2，

∵E是BC的中点，

∴EC=1，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：

DC===，

∴AB=CD=．