Question

如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CD⊥x轴于N，抛物线经过A、B、D三点，

(1)  求m的值及点D的坐标.

(2)若直线CE切⊙M于点C，G在直线CE上，已知点G的横坐标为3. 求G的纵坐标

(3) 对于(2)中的G，是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线只有一个交点，请说明理由.

(4) 对于(2)中的G 直线FG切⊙M于点F，求直线DF的解析式.

 

Answer 1

 解 (1) ∵抛物线过A、B两点，

          代入得     m=3. -------------2分

      ∴抛物线为.

      又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.

      ∴D点坐标为. -------------4分

     (2) 设 NC= a,则 DC=4+ a，半径=2+ a/2，MN=2-a/2

∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1.

       在直角三角形AMN中,（2+ a/2）²=4+（2-a/2）² -------------6分

   ∴a=1.∴NC=1. G的纵坐标为-1 -------------7分

 (3) 假设存在过点G的直线为，

则，∴.  -------------8分

由方程组 得  -------------9分

∵交点只有一个，∴（2+k₁）²﹣4(﹣4﹣3 k₁)=0

k₁²+16 k₁+20=0

∵16²﹣80>0

∴k₁存在，∴这样的直线存在-------------10分

 (4)设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.

∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.

∵GC、GF是切线，

∴GC=GF. ∴∠3=∠4.

∴∠1=∠2.

∴GF=GP.

∴GC=GP.

可得CP=8. -------------12分

∴P点坐标为  -------------13分

设直线DF的解析式为

则  解得

∴直线DF的解析式为：